Question

10．已知等比数列{a_n}的前n项和为S_n，且${a_3}=\frac{3}{2}$，${S_3}=\frac{9}{2}$．
（1）若a₃，m，S₃成等比数列，求m值；      
（2）求a₁的值．

Answer 1

分析 （1）由a₃，m，S₃成等比数列，得m²=a₃•S₃，由此能求出m的值．
（2）设等比数列{a_n}公比为q，由q=1和q≠1两种情况分类讨论，能求出首项．

解答 解：（1）因为a₃，m，S₃成等比数列，所以 m²=a₃•S₃…（1分）
因为${a_3}=\frac{3}{2}$，${S_3}=\frac{9}{2}$，所以 ${m^2}=\frac{27}{4}$…（2分）
所以$m=±\frac{{3\sqrt{3}}}{2}$…（4分）
（2）设等比数列{a_n}公比为q，
①当q=1时，${a_1}={a_2}={a_3}=\frac{3}{2}$，此时${S_3}=\frac{9}{2}$，满足题意，…（6分）
②当q≠1时，依题意得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}{q^2}=\frac{3}{2}\\ \frac{{{a_1}（1-{q^3}）}}{1-q}=\frac{9}{2}\end{array}\right.$…（8分）
解得$\left\{\begin{array}{l}{a_1}=6\\ q=\frac{1}{2}\end{array}\right.$，综上可得${a_1}=\frac{3}{2}$或a₁=6．…（12分）

点评 本题考查实数值的求法，考查数列的首项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．