Question

18．已知函数f（x）对定义域[-1，1]内的任意实数x，y总有f（x）+f（y）=f（x+y）
（1）证明：f（x）在[-1，1]上是增函数；
（2）解不等式f（x²-1）+f（3-3x）＜0
（3）若f（x）≤t²-2at+1对任意x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）任取-1≤x₁＜x₂≤1，则f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁），由x₂-x₁＞0，可得f（x₂-x₁）＞0，即可证明．
（2）由f（x）+f（y）=f（x+y），令x=y=0，解得f（0）=0．令y=-x，则f（x）+f（-x）=0，可得f（x）在[-1，1]上的奇函数，又在[-1，1]上是增函数，f（x²-1）+f（3-3x）＜0化为：f（x²-1）＜f（3x-3），利用单调性即可得出．
（3）利用f（x）的单调性，可得f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1），又f（1）=-f（-1）=-2f$（\frac{1}{2}）$．要使f（x）≤t²-2at+1对任意x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，只要t²-2at+1≥1，即t²-2at≥0，设g（a）=-2ta+t²对任意a∈[-1，1]，g（a）≥0恒成立，利用一次函数的单调性即可得出．

解答 （1）证明：任取-1≤x₁＜x₂≤1，则f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）+f（x₂-x₁），
由x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞0，∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[-1，1]上是增函数．
（2）解：由f（x）+f（y）=f（x+y），
令x=y=0，则2f（0）=f（0），解得f（0）=0．
令y=-x，
则f（x）+f（-x）=f（0）=0，
∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）在[-1，1]上的奇函数，且在[-1，1]上是增函数，
∴f（x²-1）+f（3-3x）＜0化为：f（x²-1）＜f（3x-3），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-1＜3x-3}\\{-1≤{x}^{2}-1≤1}\\{-1≤3x-3≤1}\end{array}\right.$，解得x∈$（1，\frac{4}{3}]$．
（3）解：由（1）知f（x）在[-1，1]上是增函数，∴f（x）在[-1，1]上的最大值为f（1），
∵f（1）=-f（-1）=$f（-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}）$=-2f$（\frac{1}{2}）$=1．
要使f（x）≤t²-2at+1对任意x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，
只要t²-2at+1≥1，即t²-2at≥0，
设g（a）=-2ta+t²对任意a∈[-1，1]，g（a）≥0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）≥0}\\{g（1）≥0}\end{array}\right.$，解得t≥2或t≤-2或t=0．

点评 本题考查了抽象函数的单调性与奇偶性、不等式的解法、一次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．