Question

9．（文科）如图，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱AA₁⊥底面ABC，AB⊥BC，D为AC的中点，AA₁=AB=2．
（Ⅰ）求证：AB₁∥平面BC₁D；
（Ⅱ）设BC=3，求四棱锥B-DAA₁C₁的体积．

Answer 1

分析 （1）欲证AB₁∥平面BC₁D，只需证明AB₁平行平面BC₁D中的一条直线，利用三角形的中位线平行与第三边，构造一个三角形AB1C，使AB₁成为这个三角形中的边，而中位线OD恰好在平面BC₁D上，就可得到结论．
（2）作BE⊥AC，垂足为E，推导出AA₁⊥BE，BE⊥平面AA₁C₁C．由此能求出四棱锥B-AA₁C₁D的体积．

解答 证明：连接B₁C，设B₁C与BC₁相交于点O，连接OD，
∵四边形BCC₁B是平行四边形，
∴点O为B₁C的中点，
∵D为AC的中点，
∴OD为△AB₁C的中位线，
∴OD∥AB₁，
∵OD?平面BC₁D，AB₁?平面BC₁D，
∴AB₁∥平面BC₁D
（2）作BE⊥AC，垂足为E，
∵侧棱AA₁⊥底面ABC，BE?底面ABC
∴AA₁⊥BE
∵AA₁∩AC=A
∴BE⊥平面AA₁C₁C．
在Rt△ABC中，BE=$\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{6}{\sqrt{13}}$，
∴四棱锥B-AA₁C₁D的体积V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$×（A₁C₁+AD）•AA₁•BE=3．

点评 本题以三棱柱为载体，考查线面平行，考查线面角，考查面面角，解题的关键是正确运用线面平行的判定，作出线面角，面面角，计算较繁，需要细心．