Question

15．已知数列{a_n}满足：a₁=4，a_n+1-a_n=2n+3（n∈N*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若${b_n}=\frac{n+1}{{{n^2}{a_{n+1}}}}（n∈N*）$，T_n是数列{b_n}的前n项的和，求证：${T_n}＜\frac{5}{16}$．

Answer 1

分析 （1）由a₁=4，a_n+1-a_n=2n+3（n∈N*）．利用“累加求和”方法、等差数列的求和公式即可得出．
（2）由b_n=$\frac{n+1}{{n}^{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{n+1}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}]$，利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 解：（1）∵a₁=4，a_n+1-a_n=2n+3（n∈N*）．
∴a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=（2n+1）+（2n-1）+…+5+4
=$\frac{（n+1）（1+2n+1）}{2}$=（n+1）²．
（2）证明：b_n=$\frac{n+1}{{n}^{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{n+1}{{n}^{2}（n+2）^{2}}$=$\frac{1}{4}[\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}]$，

∴T_n=$\frac{1}{4}[（1-\frac{1}{{3}^{2}}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}}-\frac{1}{{4}^{2}}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}}-\frac{1}{{5}^{2}}）$+…+$（\frac{1}{（n-1）^{2}}-\frac{1}{（n+1）^{2}}）$+$（\frac{1}{{n}^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}）]$
=$\frac{1}{4}$$（1+\frac{1}{4}-\frac{1}{（n+1）^{2}}-\frac{1}{（n+2）^{2}}）$
＜$\frac{1}{4}×\frac{5}{4}$=$\frac{5}{16}$．

点评 本题考查了“裂项求和”方法、“累加求和”方法、等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．