Question

5．（1）计算${（{lg2}）^2}+lg5•lg20+{（{\sqrt{2016}}）^0}+{0.027^{\frac{2}{3}}}×{（{\frac{1}{3}}）^{-2}}$；
（2）已知$\frac{3tanα}{tanα-2}=-1$，求$\frac{7}{{{{sin}^2}α+sinα•cosα+{{cos}^2}α}}$的值．

Answer 1

分析 （1）直接由对数的运算性质计算得答案；
（2）由已知$\frac{3tanα}{tanα-2}=-1$，可得tanα，再利用三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系化简求值即可得答案．

解答 解：（1）${（{lg2}）^2}+lg5•lg20+{（{\sqrt{2016}}）^0}+{0.027^{\frac{2}{3}}}×{（{\frac{1}{3}}）^{-2}}$=${（{lg2}）^2}+lg5•（{2lg2+lg5}）+1+{（{\frac{1000}{27}}）^{\frac{2}{3}}}×{3^2}={（{lg2+lg5}）^2}+1+100=102$；
（2）∵$\frac{3tanα}{tanα-2}=-1$，
∴$tanα=\frac{1}{2}$．
∴$\frac{7}{{{{sin}^2}α+sinα•cosα+{{cos}^2}α}}$=$\frac{{7（{{{sin}^2}α+{{cos}^2}α}）}}{{{{sin}^2}α+sinα•cosα+{{cos}^2}α}}=\frac{{7{{tan}^2}α+7}}{{{{tan}^2}α+tanα+1}}=\frac{{7•{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+7}}{{{{（{\frac{1}{2}}）}^2}+\frac{1}{2}+1}}=5$．

点评 本题考查了对数的运算性质，考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数基本关系的运用，是中档题．