Question

18．已知A（3，2）、B（-4，0），P是椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{9}$=1上的一点，则|PA|+|PB|的最大值为10+$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意画出图形，可知B为椭圆的左焦点，A在椭圆内部，设椭圆右焦点为F，借助于椭圆定义，把|PA|+|PB|的最大值转化为椭圆上的点到A的距离与F距离差的最大值求解．

解答 解：由椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{9}$=1，得a²=25，b²=9，则c²=16，
∴B（-4，0）是椭圆的左焦点，
A（3，2）在椭圆$\frac{x^2}{25}$+$\frac{y^2}{9}$=1内部，
如图：设椭圆右焦点为F，

由题意定义可得：|PB|+|PF|=2a=10，
则|PB|=10-|PF|，
∴|PA|+|PB|=10+（|PA|-|PF|）．
连接AF并延长，交椭圆与P，则此时|PA|-|PF|有最大值为|AF|=$\sqrt{（3-4）^{2}+（2-0）^{2}}=\sqrt{5}$．
∴|PA|+|PB|的最大值为10+$\sqrt{5}$．
故答案为：10+$\sqrt{5}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，考查了数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题．