Question

如图，在直三棱柱中，已知，，，点，分别在棱，上，且，，．

（1）当时，求异面直线与所成角的大小；

（2）当直线与平面所成角的正弦值为时，求的值．

Answer 1

（1）．（2）

【解析】

试题分析：（1）利用空间向量求异面直线所成角：先建立空间直角坐标系，设立点的坐标，将异面直线用坐标表示，再利用向量数量积求角：，．所以异面直线与所成角为．（2）已知线面角求点的位置，解题思路仍是利用空间向量，先求出平面法向量,再利用直线与法向量的夹角与线面角互为余角，进行列等量关系：设平面的法向量为，则，且．即，且．令，则．

所以是平面的一个法向量．，因为直线与平面所成角的正弦值为，所以，解得．

试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系．

（1）因为AB=AC=1，3，，

所以各点的坐标为,，，．

，． 2分

因为,，

所以．所以向量和所成的角为，

所以异面直线与所成角为． 4分

（2）因为，，所以．

设平面的法向量为，

则，且．

即，且．令，则．

所以是平面的一个法向量． 6分

又，则，

又因为直线与平面所成角的正弦值为，

所以，解得，． 10分

考点：利用空间向量求线线角、线面角