Question

（本小题满分14分）已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设，求在区间上的最大值；

（Ⅲ）证明：对，不等式成立.

Answer 1

（Ⅰ）函数在上单调递增，在上单调递减； （Ⅱ）详见解析； （Ⅲ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）先求函数的导数，再利用导数符号确定函数的单调区间；

（Ⅱ）由第（Ⅰ）问的结果，根据极值点与区间的关系对的取值进行分类讨论，从而确定下同条件下的最大值. （Ⅲ）要证：，即证：，即证：

而由（I）的结果，易知：对任何 恒成立，因此可构造函数证明不等式成立.

试题解析：解：（Ⅰ）的定义域为，，

由，得.

当时，；当时，.

所以函数在上单调递增，在上单调递减. （4分）

（Ⅱ）（1）当，即时，在上单调递增，所以

.

（2）当时，在上单调递减，所以

.

（3）当，即时，在上单调递增，在上单调递减，所以

. （10分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当时，，所以在上，恒有

，即且当时等号成立.

因此，对，恒有.

因为，，所以，即，

所以.

即对，不等式成立. （14分）

考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、利用函数的思想解决不等式的问题.