Question

3．${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据定积分的几何意义，所求表示如图所示的阴影部分的面积，分割法求之．

解答 解：${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=2${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx，
由定积分的几何意义，${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx所求表示如图阴影部分的面积，即直角三角形OAB与扇形OAC的面积和，
其中AB=$\sqrt{3}$，∠AOC=30°
故S_阴影=S_扇形BOC+S_△AOB=$\frac{30}{360}$×π×4+$\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}$=$\frac{π}{3}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴${∫}_{-1}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=2${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{4-{x}^{2}}$dx=$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$，
故答案为：$\frac{2π}{3}$+$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了定积分的几何意义的运用；关键是明确所求对应的几何图形．