Question

对于函数f（x），若存在实数对（a，b），使得等式f（a+x）•f（a-x）=b对定义域中的每一个x都成立，则称函数f（x）是“（a，b）型函数”．
（1）判断函数f（x）=3^x是否为“（a，b）型函数”，并说明理由；
（2）已知函数g（x）是“（1，4）型函数”，且当x∈[0，1]时，g（x）=x²-4x+4，当x∈[1，2]，求函数h（x）=（x+2）g（x）的值域．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：新定义,函数的性质及应用

分析：（1）根据新定义，可得到一组实数对（1，9），故存在；
（2）根据定义，得到g（1+x）•g（1-x）=4，当x∈[1，2]时，g（x）=

4

g(2-x)

，其中2-x∈[0，1]，由[0，1]的解析式求出g（x）在[1，2]的解析式，从而得到h（x）的解析式，配方，运用二次函数的单调性即可求出值域．

解答： 解：（1）函数f（x）=3^x是“（a，b）型函数”．
由f（a+x）•f（a-x）=b，得3^a+x•3^a-x=9^a=b，
故存在这样的实数对，如a=1，b=9．
（2）∵函数g（x）是“（1，4）型函数”，
∴g（1+x）•g（1-x）=4，
∴当x∈[1，2]时，g（x）=

4

g(2-x)

，其中2-x∈[0，1]，
而x∈[0，1]时，g（x）=x²-4x+4=（x-2）²，
∴g（2-x）=（2-x-2）²=x²，
∴g（x）=

4

x2

（1≤x≤2），
∴h（x）=（x+2）•

4

x2

=

8

x2

+

4

x

=8（

1

x

+

1

4

）²-

1

2

，
∵1≤x≤2，∴

1

2

≤

1

x

≤1，
∴当x=1时，h（x）_max=12；当x=2时，h（x）_min=4，
∴当x∈[1，2]，函数h（x）的值域为{4，12]．

点评：本题主要考查新定义函数，正确理解定义是解题的关键，同时考查函数的解析式的求法，函数的值域的求法，是一道综合题．