Question

已知向量

a

=(1， 2)， 

b

=(-2，  m)，  

x

=

a

+(t2+1)

b

，  

y

=-k

a

+

1

t

b

，  m∈R，k，t为正实数，
（1）若

a

∥

b

，求m的值；
（2）若

a

⊥

b

，求m的值；
（3）当m=1时，若

x

⊥

y

，求k的最小值．

Answer 1

分析：（1）（2）由平行和垂直的条件分别可得关于m的方程，解之可得；（3）把m=1代入，分别可得向量

x

，

y

的坐标，由垂直可得k，x的关系式，由基本不等式可得答案．

解答：解：（1）由

a

∥

b

可得1×m-2×（-2）=0，解之可得m=-4；
（2）由

a

⊥

b

可得1×（-2）+2×m=0，解之可得m=1；
（3）当m=1时，

x

=

a

+(t2+1)

b

=（-2t²-1，t²+3），

y

=-k

a

+

1

t

b

=（-k-

2

t

，-2k+

1

t

），
由

x

⊥

y

可得（-2t²-1）（-k-

2

t

）+（t²+3）（-2k+

1

t

）=0，
化简可得k=t+

1

t

≥2，当且仅当t=1时取等号，
故k的最小值为：2

点评：本题考查平面向量垂直于平行的判定，涉及基本不等式的应用，属中档题．