Question

19．已知函数f（x）=lnx+（x-a）²（a∈R）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（-∞，$\frac{9}{4}$）．

Answer 1

分析 利用导函数得到不等式恒成立，然后求解a的范围．

解答 解：∵函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在单调增区间，
∴函数f（x）在区间[$\frac{1}{2}$，2]上存在子区间使得不等式f′（x）＞0成立．
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2（x-a）]=$\frac{{2x}^{2}-2ax+1}{x}$，
设h（x）=2x²-2ax+1，则h（2）＞0或h（$\frac{1}{2}$）＞0，
即8-4a+1＞0或$\frac{1}{2}$-a+1＞0，
得a＜$\frac{9}{4}$
故答案为：（-∞，$\frac{9}{4}$）．

点评 本题考查函数的导数的综合应用，函数恒成立，考查转化思想，不等式的解法，考查计算能力．