Question

（本题满分12分）
如图，三棱锥A—BPC中，AP⊥PC，AC⊥BC，M为AB中点，D为PB中点，且△PMB为正三角形.
（Ⅰ）求证：DM//平面APC；
（Ⅱ）求 证：平面ABC⊥平面APC；

（Ⅲ）若BC=4，AB=20，求三棱锥D—BCM的体积.

Answer 1

（Ⅰ）略
（Ⅱ）略
（Ⅲ）V_D-BCM=V_M-BCD=

解：（Ⅰ）∵M为AB中点，D为PB中点，
∴MD//AP，  又∴MD平面ABC
∴DM//平面APC ……………3分
（Ⅱ）∵△PMB为正三角形，且D为PB中点。
∴MD⊥PB
又由（Ⅰ）∴知MD//AP， ∴AP⊥PB
又已知AP⊥PC  ∴AP⊥平面PBC，
∴AP⊥BC，  又∵AC⊥BC
∴BC⊥平面APC，  ∴平面ABC⊥平面PAC  ……………8分
（Ⅲ）∵AB=20
∴MB="10   " ∴PB=10
又BC=4，
∴
又MD
∴V_D-BCM=V_M-BCD=………………12分