Question

5．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB=AC=PA，∠BAC=90°，点E满足$\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{PB}$，则直线AE和PC所成角的余弦值是$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．

Answer 1

分析 设A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AE和PC所成角的余弦值．

解答 解：∵在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB=AC=PA，∠BAC=90°，
∴设A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，
设AB=AC=PA=2，E（a，b，c），
∵$\overrightarrow{PE}$=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{PB}$，∴P（0，0，2），B（2，0，0），C（0，2，0），
∴（a，b，c-2）=（$\frac{1}{2}，0，-\frac{1}{2}$），∴E（$\frac{1}{2}，0，\frac{3}{2}$），
∴$\overrightarrow{AE}$=（$\frac{1}{2}，0，\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{PC}$=（0，2，-2），
设直线AE和PC所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{AE}，\overrightarrow{PC}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{PC}}{|\overrightarrow{AE}|•|\overrightarrow{PC}|}$|=|$\frac{-3}{\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}•\sqrt{8}}$|=$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．
∴直线AE和PC所成角的余弦值是$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{5}}{10}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．