Question

3．已知函数f（x）=2sin²（x-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$cos2x-3．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若在△ABC中，AB=2|f（$\frac{π}{4}$）|，AC=$\sqrt{3}$BC，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用二倍角与两角和的余弦函数化简函数为一个角的一个三角函数的形式，通过正弦函数的单调减区间，直接求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）设BC=a，则AC=$\sqrt{3}$a，利用余弦定理求出cosB，求出cos²B和sin²B，再利用三角形的面积公式化简S²_△ABC，利用配方法和二次函数的性质求出面积的最大值．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2sin²（x-$\frac{π}{4}$）+$\sqrt{3}$cos2x-3
=2×$\frac{1-cos（2x-\frac{π}{2}）}{2}$+$\sqrt{3}$cos2x-3=-sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-2
=-2sin（2x-$\frac{π}{3}$）-2
由$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x-$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，
得$\frac{5π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{11}{12}$π+kπ（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间是[$\frac{5π}{12}$+kπ，$\frac{11}{12}$π+kπ]（k∈Z）．  
（Ⅱ）AB=2|f（$\frac{π}{4}$）|=2|-1-2|=6，设BC=a，则AC=$\sqrt{3}$a，
根据余弦定理得，cosB=$\frac{36+{a}^{2}-3{a}^{2}}{2×6×a}$=$\frac{3}{a}$-$\frac{1}{6}$a，
则sin²B=1-cos²B=2-$\frac{9}{{a}^{2}}$-$\frac{1}{36}{a}^{2}$，
根据面积公式得，S_△ABC=$\frac{1}{2}•6•a•$sinB=3asinB，
所以S²_△ABC=9a²sin²B=-$\frac{1}{4}$（a²-36）²+243，
当a²=36，即a=6时，S²_△ABC取到最大值243，即△ABC面积的最大值是9$\sqrt{3}$．

点评 本题考查二倍角公式与两角和与差的三角函数，函数的单调性函数值的求法，考查计算能力，转化思想．