Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为 ，焦点到相应准线的距离为1．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若P为椭圆上的一点，过点O作OP的垂线交直线 于点Q，求 的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得， ， ，

解得 ，c=1，b=1．

所以椭圆的方程为

（2）解：由题意知OP的斜率存在．

当OP的斜率为0时， ， ，所以 ．

当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．

由 得（2k2+1）x2=2，解得 ，所以 ，

所以 ．

因为OP⊥OQ，所以直线OQ的方程为 ．

由 得 ，所以OQ2=2k2+2．

所以 ．

综上，可知

【解析】（1）由已知条件可得 ， ，然后求解椭圆的方程．（2）由题意知OP的斜率存在．当OP的斜率为0时，求解结果；当OP的斜率不为0时，设直线OP方程为y=kx．联立方程组，推出 ．OQ2=2k2+2．然后求解即可．
【考点精析】通过灵活运用椭圆的标准方程，掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：即可以解答此题．