Question

【题目】如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ=λBB1（λ≠0）．
（1）若 ，求AP与AQ所成角的余弦值；
（2）若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，求实数λ的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：以 为正交基底，建立如图所示空

间直角坐标系A﹣xyz．

因为 ， ，

所以 = ．

所以AP与AQ所成角的余弦值为

（2）解：由题意可知， ， ．

设平面APQ的法向量为 =（x，y，z），

则 即

令z=﹣2，则x=2λ，y=2﹣λ．

所以 =（2λ，2﹣λ，﹣2）．

又因为直线AA1与平面APQ所成角为45°，

所以|cos＜ ， ＞|= = ，

可得5λ2﹣4λ=0，又因为λ≠0，所以 ．

【解析】（1）以 为正交基底，建立如图所示空间直角坐标系A﹣xyz．求出 ， ，利用数量积求解AP与AQ所成角的余弦值．（2） ， ．求出平面APQ的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．
【考点精析】认真审题，首先需要了解空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则)．