【题目】如图,在直三棱柱(侧棱垂直于底面)中,
,
,
,
.
(1)证明:平面
;
(2)若是
的中点,在线段
上是否存在一点
使
平面
?若存在,请确定点
的位置;若不存在,也请说明理由.
【答案】(1)证明见解析;(2)为
的中点.
【解析】
(1)由几何体的结构特征和线面垂直的判定定理,证得平面
,得到
,进而得到
,再由四边形
为正方形,所以
,最后利用线面垂直的判定定理,即可证得
平面
.
(2)取的中点
,分别连接
,
,
,利用几何体的结构特征和线面平行的判定和性质,即可求解.
(1)由题意,三棱柱为直三棱柱,所以
,
又因为,
,
平面
,
平面
,
所以平面
,
又因为平面
,所以
,
又因为,所以
,
在中,
,
,
,所以
,
又因为,所以四边形
为正方形,所以
.
因为,
平面
,
平面
,
所以平面
.
(2)当点为
的中点时,
平面
.
证明如下:取的中点
,分别连接
,
,
,
所以,
分别为
,
的中点,所以
,
又因为平面
,
平面
,所以
平面
,
因为,
分别是直三棱柱
侧棱
,
的中点,所以
,
又因为平面
,
平面
,所以
平面
,
又∵,
平面
,
平面
,所以平面
平面
.
又因为平面
,所以
平面
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某险种的基本保费为(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:
上年度出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
保费 |
设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下:
一年内出险次数 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | |
概率 | 0.30 | 0.15 | 0.20 | 0.20 | 0.10 | 0.05 |
(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率;
(2)已知一续保人本年度的保费高于基本保费,求其保费比基本保费高出的概率.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为棱C1D1的中点,Q为棱BB1上的点,且BQ=λBB1(λ≠0).
(1)若 ,求AP与AQ所成角的余弦值;
(2)若直线AA1与平面APQ所成的角为45°,求实数λ的值.
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【题目】已知数列的首项为1,且
,数列
满足
,
,对任意
,都有
.
(1)求数列、
的通项公式;
(2)令,数列
的前
项和为
.若对任意的
,不等式
恒成立,试求实数
的取值范围.
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【题目】根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如表:
组别 | PM2.5浓度 | 频数(天) | 频率 |
第一组 | (0,25] | 3 | 0.15 |
第二组 | (25,50] | 12 | 0.6 |
第三组 | (50,75] | 3 | 0.15 |
第四组 | (75,100] | 2 | 0.1 |
(1)将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图. ①求图4中a的值;
②求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.
(2)将频率视为概率,对于2016年的某3天,记这3天中该居民区PM2.5的24小时平均浓度符合环境空气质量标准的天数为X,求X的分布列和数学期望.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】有甲、乙两个游戏项目,要参与游戏,均需每次先付费元(不返还),游戏甲有
种结果:可能获得
元,可能获得
元,可能获得
元,这三种情况的概率分别为
,
,
;游戏乙有
种结果:可能获得
元,可能获得
元,这两种情况的概率均为
.
(1)某人花元参与游戏甲两次,用
表示该人参加游戏甲的收益(收益=参与游戏获得钱数-付费钱数),求
的概率分布及期望;
(2)用表示某人参加
次游戏乙的收益,
为任意正整数,求证:
的期望为
.
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【题目】如图所示,球的表面积为
,球心
为空间直角坐标系
的原点,且球
分别与
轴的正交半轴交于
三点,已知球面上一点
.
(1)求两点在球
上的球面距离;
(2)过点作平面
的垂线,垂足
,求
的坐标,并计算四面体
的体积;
(3)求平面与平面
所成锐二面角的大小.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=(2﹣a)(x﹣1)﹣2lnx,(a∈R). (Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)若函数f(x)在(0, )上无零点,求a的取值范围.
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【题目】某校对高二年段的男生进行体检,现将高二男生的体重(kg)数据进行整理后分成6组,并绘制部分频率分布直方图(如图所示).已知第三组[60,65)的人数为200.根据一般标准,高二男生体重超过65kg属于偏胖,低于55kg属于偏瘦.观察图形的信息,回答下列问题:
(1)求体重在[60,65)内的频率,并补全频率分布直方图;
(2)用分层抽样的方法从偏胖的学生中抽取6人对日常生活习惯及体育锻炼进行调查,则各组应分别抽取多少人?
(3)根据频率分布直方图,估计高二男生的体重的中位数与平均数.
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