Question

【题目】已知函数f（x）=|4x﹣a|+|4x+3|，g（x）=|x﹣1|﹣|2x|．
（1）解不等式g（x）＞﹣3；
（2）若存在x1∈R，也存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意可得

因为g（x）＞﹣3，

由函数图象可得不等式的解为﹣4＜x＜2，

所以不等式的解集为{x|﹣4＜x＜2}

（2）

解：因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，

所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=g（x），x∈R}≠，

又f（x）=|4x﹣a|+|4x+3|≥|（4x﹣a）+（4x+3）|=|a+3|，

由（1）可知g（x）max=1，所以|a+3|≤1，解得﹣4≤a≤﹣2，

所以实数a的取值范围为[﹣4，﹣2]．

【解析】（1）通过讨论x的范围求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可；（2）因为存在x1∈R，存在x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，所以{y|y=f（x），x∈R}∩{y|y=g（x），x∈R}≠，分别求出f（x），g（x）的范围，即可求实数a的取值范围．
【考点精析】利用绝对值不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号．