Question

【题目】已知函数且在处的切线与直线垂直.

(1)求实数值;

(2)若不等式对任意的实数及恒成立,求实数的取值范围;

(3)设,且数列的前项和为,求证: .

Answer 1

【答案】（1）;（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得切线斜率为，根据题意可得，解得;（2）先求最值，再根据不等式恒成立转化为, ,最后分别按二次不等式和绝对值不等式求实数的取值范围;（3）由(2)可得当时, ，从而,再利用裂项相消法得= ，即得结论

试题解析：(1,x>0,

因为,且在处的切线与直线垂直,

所以,则;

(2)由(1)可知

所以,易知当时, ,

所以在,

因此当时, .

由不等式对任意的实数及恒成立可得,

,即对任意的实数恒成立,

所以解得;

且=,

即,即或,综上可得的取值范围是;

(3)由(2)可知在定义域上单调递增,

所以当时, ,即.

而,又,

故,

所以== 而,所以.