Question

10．已知三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c在（-∞，-1），（2，+∞）上增加的，在（-1，2）上是减少的递减．
（1）求a，b的值；
（2）当且仅当x≥4时，f（x）≥x²-4x+5，求函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数的单调性，得到-1，2是关于导函数的方程的根，代入求出a，b的值即可；
（2）问题转化为当且仅当x≥4时，x³-$\frac{5}{2}$x²-2x+c-5≥0，令h（x）=x³-$\frac{5}{2}$x²-2x+c-5，根据函数的单调性求出c的值，从而求出f（x）的表达式．

解答 解：（1）f′（x）=3x²+2ax+b，
∵三次函数f（x）=x³+ax²+bx+c在（-∞，-1），（2，+∞）上增加的，在（-1，2）上是减少，
∴-1，2是方程3x²+2ax+b=0的根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{3-2a+b=0}\\{12+4a+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-\frac{3}{2}}\\{b=-6}\end{array}\right.$；
（2）由（1）得：f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x+c，
当且仅当x≥4时，f（x）≥x²-4x+5，
即当且仅当x≥4时，x³-$\frac{5}{2}$x²-2x+c-5≥0，
令h（x）=x³-$\frac{5}{2}$x²-2x+c-5，
h′（x）=（3x+1）（x-2），
令h′（x）＞0，解得：x＞2或x＜-$\frac{1}{3}$，
令h′（x）＜0，解得：-$\frac{1}{3}$＜x＜2，
∴h（x）在[4，+∞）递增，
故只需h（4）=64-40-8-5+c=0，
解得：c=-11，
故f（x）=x³-$\frac{3}{2}$x²-6x-11．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．