Question

定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，
（1）求证：f(0)=1；          
（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)> 0；
（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x²)>1，求x的取值范围。

Answer 1

（1）略（2）略   (3) 0<x<3

本题主要考查抽象函数及其应用、函数单调性的判断与证明．解本题的关键是灵活应用题目条件，尤其是（3）中“f（x2）=f[（x2-x1）+x1]”是证明单调性的关键，这里体现了向条件化归的策略．
（1）利用赋值法解决，令x=y=0即得；
（2）利用条件：“当x＞0时，f（x）＞1”，只须证明当x＜0时，f（x）＞0即可；
（3）利用单调函数的定义证明，设x1＜x2，将f（x2）写成f[（x2-x1）+x1]的形式后展开，结合（2）的结论即可证得；
（4）由f（x）•f（2x-x2）＞f（0）得f（3x-x2）＞f（0）．结合f（x）的单调性去掉符号“f”后，转化成一元二次不等式解决即可