Question

12．已知递增等差数列{a_n}满足a₁•a₄=7，a₂+a₃=8．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{a}_{n}{a}_{n+1}}$，求数列{b_n}的前n项和为S_n．

Answer 1

分析 （1）将已知条件转化为用等差数列的首项和公比表示，通过解方程组可求得基本量，从而求得通项公式；
（2）将数列{a_n}的通项公式代入${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$得${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），采用“裂项相消法”即可求得数列{b_n}的前n项和为S_n．

解答 解：（1）由已知由等差数列性质可知：a₂+a₃=a₁+a₄，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a_1}+{a_4}=8\\{a_1}{a_4}=7\\{a_1}＜{a_4}\end{array}\right.$，
解得：a₁=1，a₄=7
∴d=$\frac{{a}_{4}-{a}_{1}}{4-1}$=2，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
数列{a_n}的通项公式a_n=2n-1；
（2）由${b_n}=\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，可知${b_n}=\frac{1}{（2n-1）（2n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
∴${S_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+…+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}）=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$，
${S_n}=\frac{1}{2}（1-\frac{1}{2n+1}）$．

点评 本题考查等差数列的性质，等差数列通项公式，“裂项相消法”求数列的前n项和公式，考查计算能力，属于中档题．