Question

7．已知函数f（x）=$\frac{x}{{x}^{2}+1}$．
（1）判断x的奇偶性，并证明；
（2）证明函数f（x）在（1，+∞）为减函数．

Answer 1

分析 （1）函数f（x）是奇函数，分析：函数f（x）的定义域为R，证明f（-x）=-f（x）即可．
（2）任取1＜x₁＜x₂，作差：f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}^{2}+1）（{x}_{2}^{2}+1）}$，判断符号即可证明．

解答 证明：（1）函数f（x）是奇函数，证明：函数f（x）的定义域为R，f（-x）=$\frac{-x}{（-x）^{2}+1}$=-f（x），∴函数f（x）为奇函数．
（2）任取1＜x₁＜x₂，则f（x₁）-f（x₂）=$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}^{2}+1}$-$\frac{{x}_{2}}{{x}_{2}^{2}+1}$=$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}^{2}+1）（{x}_{2}^{2}+1）}$，
∵1＜x₁＜x₂，∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞1，∴（x₂-x₁）（x₁x₂-1）＞0，
∴$\frac{（{x}_{2}-{x}_{1}）（{x}_{1}{x}_{2}-1）}{（{x}_{1}^{2}+1）（{x}_{2}^{2}+1）}$＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，即f（x₁）＞f（x₂），∴函数f（x）在（1，+∞）为减函数．．

点评 本题考查了函数的奇偶性与单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．