Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ADC=90°，CD∥AB，AB=4，AD=CD=2，将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D-ABC，如图所示。

（1）求证：BC⊥平面ACD；
（2）求BD与平面ABC所成角θ的正弦值。

Answer 1

解：（1）由于
从而
故AC⊥BC
取AC的中点O，连接DO，则DO⊥AC，
又平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，
DO平面ACD，
从而DO⊥平面ABC
所以DO⊥BC
又AC⊥BC，AC∩DO=O，
所以BC⊥平面ACD。
（2）作DH⊥AC于H，易得H为AC中点，连接HB
因为平面ADC⊥平面ABC，平面ADC∩平面ABC=AC，
且DH面ADC，
所以DH⊥平面ABC
所以∠DBH即为BD与平面ABC所成角θ
在Rt△BCH中，
在Rt△BHD中，
所以。