Question

12．如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁=2AB=2a，AE=CF=λAA₁（0＜λ＜1），
（1）试在BC上找一点P，使得A₁B∥面PEF；
（2）在（1）的条件下，当λ为何值时，四面体BPFE的体积最大？
（3）在（2）的条件下，求面PEF与底面ABC所成的锐二面角的正切值．

Answer 1

分析 （1）如图所示，连接A₁C，交EF于点M，连接PM．由A₁B∥面PEF，可得A₁B∥MP．△A₁BC中，可得$\frac{CP}{PB}$=$\frac{CM}{M{A}_{1}}$．利用AA₁∥CC₁，可得$\frac{CP}{PB}$=$\frac{λ}{1-λ}$，即可得出结论．
（2）在（1）的条件下，S_△BPF=$\frac{1}{2}BP•CF$=（1-λ）λa²，由AE∥平面BCF，可得点E到平面BPF的距离即为AP=$\sqrt{3}$a，利用V_E-BPF=$\frac{1}{3}×AP×{S}_{△BPF}$及其基本不等式的性质即可得出．
（3）在（2）的条件下，$λ=\frac{1}{2}$，即点P为线段BC的中点，点E，F分别为棱AA₁，CC₁的中点．取AB的中点Q，连接PQ，EQ，可得EF∥PQ．过点Q作QD⊥AC，作DG⊥EF，连接QG．可得∠DQG即为平面PEF与底面ABC所成的锐二面角．

解答 解：（1）如图所示，连接A₁C，交EF于点M，连接PM．
∵A₁B∥面PEF，平面A₁BC∩平面EFP=MP，∴A₁B∥MP．
△A₁BC中，$\frac{CP}{PB}$=$\frac{CM}{M{A}_{1}}$．
∵AA₁∥CC₁，∴$\frac{CM}{M{A}_{1}}$=$\frac{CF}{{A}_{1}E}$=$\frac{λC{C}_{1}}{（1-λ）A{A}_{1}}$=$\frac{λ}{1-λ}$．
∴$\frac{CP}{PB}$=$\frac{λ}{1-λ}$，即CP=λBC时，使得A₁B∥面PEF．
（2）在（2）的条件下，S_△BPF=$\frac{1}{2}BP•CF$=$\frac{1}{2}×$（1-λ）a×2λa=（1-λ）λa²，
∵AE∥平面BCF，∴点E到平面BPF的距离即为AP=$\sqrt{3}$a，
∴V_E-BPF=$\frac{1}{3}×AP×{S}_{△BPF}$=$\frac{1}{3}×\sqrt{3}a$×（1-λ）λa²≤$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}}{3}$×$（\frac{1-λ+λ}{2}）^{2}$=$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}}{12}$，当且仅当$λ=\frac{1}{2}$时取等号．
∴当λ=$\frac{1}{2}$时，四面体BPFE的体积最大为$\frac{\sqrt{3}{a}^{3}}{12}$．
（3）在（2）的条件下，$λ=\frac{1}{2}$，即点P为线段BC的中点，点E，F分别为棱AA₁，CC₁的中点．
取AB的中点Q，连接PQ，EQ，则PQ∥AC，又EF∥AC，∴EF∥PQ．即PQ是平面PEF与底面ABC的交线．
过点Q作QD⊥AC，作DG⊥EF，垂足分别为D，G，连接QG．
则DQ⊥PQ，DG⊥底面ABC，∴QG⊥PQ，
∴∠DQG即为平面PEF与底面ABC所成的锐二面角．
在Rt△DQG中，tan∠DQG=$\frac{DG}{DQ}$=$\frac{a}{\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}a}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了空间位置关系空间角、等边三角形的性质、平行线分线段成比例定理、直角三角形的边角关系、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．