Question

7．如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED=90°，AB=CD=2，DE=BE=1，$AC=\sqrt{2}$．
（1）证明：DE⊥平面ACD；
（2）求二面角B-AD-C的正切值．

Answer 1

分析 （1）依题意，易证AC⊥平面BCDE，于是可得AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；
（2）作BF⊥AD，与AD交于点F，BO⊥CD，与CD交于点O，连接OF，由（1）知OF⊥AD，所以∠BFO就是二面角B-AD-C的平面角，即可求出二面角B-AD-C的正切值．

解答 （1）证明：在直角梯形BCDE中，由DE=BE=1，CD=2，得BD=BC=$\sqrt{2}$，
由AC=$\sqrt{2}$，AB=2得AB²=AC²+BC²，即AC⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，
所以AC⊥DE，又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD；
（2）解：作BF⊥AD，与AD交于点F，BO⊥CD，与CD交于点O，连接OF，
由（1）知OF⊥AD，所以∠BFO就是二面角B-AD-C的平面角，
在直角梯形BCDE中，由CD²=BC²+BD²，得BD⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB，
由于AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD．
在Rt△ACD中，由DC=2，AC=$\sqrt{2}$，得AD=$\sqrt{6}$；
在Rt△ABD中，由BD=$\sqrt{2}$，AB=2，AD=$\sqrt{6}$得BF=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
BO=DE=1，∴OF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$
∴tan∠BFO=$\sqrt{3}$，
所以二面角B-AD-C的正切值为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查空间点、线、面位置关系，二面角等基础知识，同时考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力．