Question

19．如图，在等腰直角三角形ABC中，AC=BC，D是BC的中点，E是线段AB上的点，且AE=2BE．求证：AD⊥CE．

Answer 1

分析 过B作BC的垂线交CE的延长线于点F，从而可推出AC∥BF，根据平行线的性质可得到两组对应角相等从而可判定△ACE∽△BFE，根据相似三角形的对应边对应成比例可得到AC=2BF，进而得到CD=BF，再利用HL判定△ACD≌△CBF，由全等三角形的性质得其对应角相等，再根据等角的性质不难证得结论．

解答 证明：过B作BC的垂线交CE的延长线于点F，（1分）
∴∠FBC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠FBC=∠ACB=90°．
∴AC∥BF，
∴∠ACE=∠EFB，∠CAE=∠EBF
∴△ACE∽△BFE．（3分）
∴$\frac{AC}{BF}=\frac{AE}{EB}$=2．
∴AC=2BF．（4分）
∵D是BC的中点，∴BC=2CD，
∵AC=BC，
∴CD=BF．（5分）
在△ACD和△CBF中
$\left\{\begin{array}{l}{AC=CB}\\{∠ACB=∠CBF=90°}\\{CD=BF}\end{array}\right.$，
∴△ACD≌△CBF．（6分）
∴∠1=∠2．
∴∠2+∠3=∠1+∠3=90°．
∴∠4=90°．
∴CE⊥AD．（7分）

点评 此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质及相似三角形的判定及性质的综合运用．