Question

4．已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD是等腰梯形，AB∥CD，且AC⊥BD，AC与BD交于O，PO⊥底面ABCD，PO=2，$AB=2\sqrt{2}，CD=\sqrt{2}$，E，F分别是AB，AP的中点．
（1）求证：AC⊥EF；
（2）求二面角F-OE-A的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以O为原点，建立空间坐标系，求出$\overrightarrow{AC}，\overrightarrow{EF}$的坐标，通过计算$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}=0$得出AC⊥EF；
（2）求出平面OEF的法向量$\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{OP}，\overrightarrow{n}$＞|为所求二面角的余弦值．

解答 证明：（1）∵四边形ABCD是等腰梯形，∴OA=OB，OC=OD．
∵AC⊥BD，AB=2$\sqrt{2}$，CD=$\sqrt{2}$，
∴OA=OB=2，OC=OD=1．
以O为原点，以OB，OC，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，
则A（0，-2，0），B（2，0，0），C（0，1，0），P（0，0，2）．
∵E，F分别是AB，AP的中点，
∴E（1，-1，0），F（0，-1，1），
∴$\overrightarrow{AC}$=（0，3，0），$\overrightarrow{EF}$=（-1，0，1），
∴$\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{EF}$=0，
∴AC⊥EF．
（2）$\overrightarrow{OE}$=（1，-1，0），$\overrightarrow{OF}$=（0，-1，1），
设平面OEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{OE}}\\{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{OF}}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-y=0}\\{-y+z=0}\end{array}\right.$，令z=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，1）．
∵OP⊥平面OAE，
∴$\overrightarrow{OP}$=（0，0，2）为平面OAE的一个法向量．
∵cos＜$\overrightarrow{OP}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{OP}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{OP}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{2\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴二面角F-OE-A的余弦值为$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查了空间向量的应用与空间角的计算，属于中档题．