Question

9．如图，在四棱锥P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD=4AP，∠BAD=∠PAD=60°，E，F分别是AP，AD的中点．
（Ⅰ）求证：平面BEF⊥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角P-BE-F的正切值．

Answer 1

分析 （I）连接BD，则△ABD为正三角形，于是BF⊥AD，根据面面垂直的性质得出BF⊥平面PAD，于是平面BEF⊥平面PAD；
（II）以F为原点建立空间直角坐标系，求出平面BEF和平面APB的法向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$，求出二面角P-BE-F的余弦值再求出正切值．

解答 解：（I）证明：连接BD，
∵AB=AD，∠BAD=60°，∴△ABD是正三角形．
∵F是AD的中点，∴BF⊥AD．
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
BF?平面ABCD，
∴BF⊥平面PAD，又BF?平面BEF，
∴平面BEF⊥平面PAD．
（II）在平面PAD内作AD的垂线FM，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，FM?平面PAD，
∴FM⊥平面ABCD，
以F为原点，以FB，FD，FM为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
设AP=2，则F（0，0，0），B（4$\sqrt{3}$，0，0），A（0，-4，0），P（0，-3，$\sqrt{3}$），E（0，-$\frac{7}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
∴$\overrightarrow{FE}$=（0，-$\frac{7}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{FB}$=（4$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，1，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（4$\sqrt{3}$，4，0）．
设平面BEF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x₁，y₁，z₁），平面PBE的法向量为$\overrightarrow{m}$=（x₂，y₂，z₂），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{FE}}\\{\overrightarrow{n}⊥\overrightarrow{FB}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{AP}}\\{\overrightarrow{m}⊥\overrightarrow{AB}}\end{array}\right.$．
∴$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{7}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\\{4\sqrt{3}{x}_{1}=0}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\\{4\sqrt{3}{x}_{2}+4{y}_{2}=0}\end{array}\right.$．
令z₁=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，$\frac{\sqrt{3}}{7}$，1），令x₂=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，-$\sqrt{3}$，1）．
∴$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=-$\frac{3}{7}+1$=$\frac{4}{7}$，|$\overrightarrow{m}$|=$\sqrt{5}$，|$\overrightarrow{n}$|=$\frac{2\sqrt{13}}{7}$，
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\frac{4}{7}}{\sqrt{5}×\frac{2\sqrt{13}}{7}}$=$\frac{2\sqrt{65}}{65}$．
∴二面角P-BE-F的余弦值为$\frac{2\sqrt{65}}{65}$，
∴二面角P-BE-F的正切值为$\frac{\sqrt{61}}{2}$．

点评 本题考查了面面垂直的性质与判定，空间向量的应用与二面角的计算，属于中档题．