Question

17．已知：在△ABC中，AB=AC，AB⊥AC，D、E在BC上，且∠ADC=∠BAE．
（1）求证：∠DAE=45°；
（2）过B作BF⊥AD于F，交直线AE于M，连CM，判断BM与CM的位置关系，加以证明．

Answer 1

分析 （1）先求出∠B=45°，再证明∠DAE=∠B，即可证明：∠DAE=45°；
（2）证明A，C，M，B四点共圆，即可判断BM⊥CM．

解答 证明：（1）∵AB=AC，AB⊥AC，∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠BAE=∠DAE+∠BAD，
∴∠ADC=∠BAE，
∴∠DAE=∠B=45°；
（2）∵BM⊥AF，∴∠AFM=90°．
∵∠FAM=∠DAE=45°，∴∠AMF=45°=∠ACB，
∴A，C，M，B四点共圆，
∴∠BAC+∠BMC=180°，
∵∠BAC=90°，
∴∠BMC=90°，即BM⊥CM．

点评 本题考查等腰直角三角形，考查四点共圆，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．