Question

6．公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S₁，S₂，S₄成等比数列
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，证明对任意的n∈N^*，b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2恒成立．

Answer 1

分析 （1）由已知，得S₂²=S₁•S₄，利用等差数列前n项和公式求出首项和公差，由此能求出a_n．
（2）先根据等差数列的求和公式，求出b_n，当n≥2时，由放缩以及裂项法求和即可求出答案．

解答 解：（1）∵S_n为公差不为0的等差数列{a_n}的前n项和，
且a₁=1，S₁，S₂，S₄成等比数列，
∴由已知，得S₂²=S₁•S₄，
即a₁（4a₁+6d）=（2a₁+d）²，
整理得2a₁d=d²，
又由a₁=1，d≠0，解得d=2，
故a_n=1+（n-1）×2=2n-1．n∈N^*．
（2）证明：由（1）知S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²，
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，n≥2，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1+1-$\frac{1}{n}$＜2．

点评 本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，考查数列的通项公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．