Question

11．直线3x+4y+5=0与圆x²+y²=4交于M，N两点，则$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$（O为坐标原点）等于-$\frac{28}{25}$．

Answer 1

分析 由题意设出M、N的坐标，联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系得到M、N的横纵坐标的积，代入数量积的坐标运算得答案．

解答 解：设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{3x+4y+5=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，得25x²+30x-39=0．
则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{30}{25}，{x}_{1}{x}_{2}=-\frac{39}{25}$，
${y}_{1}{y}_{2}=\frac{15}{16}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{9}{16}{x}_{1}{x}_{2}+\frac{25}{16}$=$\frac{15}{16}×（-\frac{30}{25}）+\frac{9}{16}×（-\frac{39}{25}）+\frac{25}{16}$=$\frac{11}{25}$．
∴$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=${x}_{1}{x}_{2}+{y}_{1}{y}_{2}=-\frac{39}{25}+\frac{11}{25}=-\frac{28}{25}$
故答案为：$-\frac{28}{25}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查了平面向量的数量积运算，是基础的计算题．