Question

4．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的焦点为F₁、F₂，短轴为B₁B₂，四边形F₁B₁F₂B₂是边长为$\sqrt{2}$的正方形．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点$P（0，-\frac{1}{3}）$且斜率为k的直线交椭圆C于A、B两点，证明：无论k取何值，以AB为直径的圆恒过点D（0，1）．

Answer 1

分析 （1）利用椭圆的性质，求出b=c，推出a，即可求解椭圆的方程．
（2）求出过点$P（0，-\frac{1}{3}）$且斜率为k的直线的方程，联立$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y+\frac{1}{3}=kx\end{array}\right.$，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），通过韦达定理结合$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}={x_1}{x_2}+（1-{y_1}）（1-{y_2}）$，推出$\overrightarrow{DA}⊥\overrightarrow{DB}$，∠ADB=90°，得到以AB为直径的圆恒过点D（0，1）．

解答 解：（1）依题意，b=c，$\sqrt{{b^2}+{c^2}}=a=\sqrt{2}$…（2分），b=1…（3分）
椭圆C的方程为$\frac{x^2}{2}+{y^2}=1$…（4分）
（2）证明：过点$P（0，-\frac{1}{3}）$且斜率为k的直线的方程为$y+\frac{1}{3}=kx$…（5分）
由$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+{y^2}=1\\ y+\frac{1}{3}=kx\end{array}\right.$得（18k²+9）x²-12kx-16=0…（6分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则${x_1}+{x_2}=\frac{12k}{{18{k^2}+9}}$，${x_1}•{x_2}=-\frac{16}{{18{k^2}+9}}$…（7分）
$\overrightarrow{DA}=（-{x_1}，1-{y_1}）$，
$\overrightarrow{DB}=（-{x_2}，1-{y_2}）$$\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{DB}={x_1}{x_2}+（1-{y_1}）（1-{y_2}）$…（8分）
=$（{k^2}+1）{x_1}{x_2}-\frac{4k}{3}（{x_1}+{x_2}）+\frac{16}{9}$…（9分）
=$-\frac{{16（{k^2}+1）}}{{18{k^2}+9}}-\frac{4k}{3}×\frac{12k}{{18{k^2}+9}}+\frac{16}{9}=0$…（10分）
所以$\overrightarrow{DA}⊥\overrightarrow{DB}$，∠ADB=90°…（11分）
所以D在以AB为直径的圆上，即以AB为直径的圆恒过点D（0，1）…（12分）

点评 本题考查直线与椭圆的位置关系的综合应用，椭圆方程的求法，韦达定理的应用，考查计算能力以及转化思想的应用．