Question

9．已知椭圆C的中心在原点，焦点F₁，F₂在轴上，焦距为2，离心率为$\frac{1}{2}$．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若P是椭圆C上第一象限内的点，△PF₁F₂的内切圆的圆心为I，半径为$\frac{1}{2}$．求：
（i）点P的坐标；
（ii）直线PI的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），由焦距为2，离心率为$\frac{1}{2}$，列方程组解得a²=4，b²=3，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）（i）由|PF₁|+|PF₂|=4，得|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=6，利用△PF₁F₂的面积能求出P点坐标．
（ii）先求出直线PF₁的方程，设I（${x}_{0}，\frac{1}{2}$），由点到直线的距离公式能求出直线PI的方程．

解答 解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，（a＞b＞0），
由题意得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}}\\{{a}^{2}-{b}^{2}=1}\end{array}\right.$，
解得a²=4，b²=3，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）（i）∵|PF₁|+|PF₂|=4，∴在△PF₁F₂中，|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|=6，
∴△PF₁F₂的面积${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}$（|PF₁|+|PF₂|+|F₁F₂|）•r=$\frac{1}{2}×6×\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$，
又${S}_{△P{F}_{1}{F}_{2}}$=$\frac{1}{2}|{F}_{1}{F}_{2}|•{y}_{P}$，
∴${y}_{P}=\frac{3}{2}$，由$\frac{{{x}_{P}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{P}}^{2}}{3}=1$，得x_P=1，∴P（1，$\frac{3}{2}$）．
（ii）∵P（1，$\frac{3}{2}$），F₁（-1，0），∴直线PF₁的方程为$\frac{y-0}{\frac{3}{2}-0}$=$\frac{x+1}{1+1}$，
∴3x-4y+3=0，
∵△PF₁F₂的内切圆的半径为$\frac{1}{2}$，∴设I（${x}_{0}，\frac{1}{2}$），
则$\frac{|3{x}_{1}-4×\frac{1}{2}+3|}{5}$=$\frac{1}{2}$，
解得${x}_{0}=\frac{1}{2}$或${x}_{0}=-\frac{7}{6}$（舍）．
∴直线PI的方程为y=2x-$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程、点的坐标、直线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．