Question

18．设圆O：x²+y²=1，直线l：x+2y-3=0，点A∈l，若圆O上存在点B，使得∠OAB=45°（O为坐标原点），则点A的横坐标的最大值为（　　）

• A． $\frac{1}{5}$
• B． 1
• C． $\frac{9}{5}$
• D． $\frac{8}{9}$

Answer 1

分析 当AB是圆的切线时，∠OAB最大，当AB经过圆心时∠OAB最小且等于0°．而当A点距圆心O越近时，∠OAB的最大值越大；A距圆心越远时，∠OAB的最大值越小．只要使∠OAB的最大值不小于45°就行了，也就是要找到使∠OAB的最大值等于45°的极限点A，当∠OAB=45°时，连接OB，就得到一个∠OAB=45°的三角形，这时OA=$\sqrt{2}$OB，则A的坐标满足：（x-0）²+（y-0）²=2 与x+2y-3=0，求解方程组可得答案．

解答 解：设点A（x，y）如图，当AB是圆的切线时，∠OAB最大，
∠OAB=45°时，连接OB，就得到一个∠OAB=30°的Rt三角形，
这时OA=$\sqrt{2}$OB，圆O的半径是1，那么只要求出在直线I上距圆心为$\sqrt{2}$的点的横坐标，即可求得点A的横坐标的最大值．
点A的坐标满足：（x-0）²+（y-0）²=2 与x+2y-3=0，
解得x=$\frac{1}{5}$或x=1．
∴点A的横坐标的最大值为1．
故选：B．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系的判断，以及转化与化归的思想方法．正确理解题意是解答该题的关键，是中档题．