Question

14．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{1}{2}$，且右准线方程为x=4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设P（x₁，y₁），M（x₂，y₂）（y₂≠y₁）是椭圆C上的两个动点，点M关于x轴的对称点为N，如果直线PM，PN与x轴交于（m，0）和（n，0），问m•n是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆的离心率为$\frac{1}{2}$，且右准线方程为x=4，列方程组解得a=2，c=1，由此能求出椭圆的标准方程．
（2）由P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），得N（x₂，-y₂），求出直线PM的方程和直线PN的方程，分别令y=0，得m和n，由此能推导出m•n为定值．

解答 解：（1）由题意，得$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，且$\frac{{a}^{2}}{c}=4$，
解得a=2，c=1，
∴$b=\sqrt{{2}^{2}-{1}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴椭圆的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（2）由P（x₁，y₁），M（x₂，y₂），得N（x₂，-y₂），
∴$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}$+$\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$=1，$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}=1$，
直线PM的方程为y-y₁=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}（x-{x}_{1}）$，
直线PN的方程为y-y₁=$\frac{-{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$（x-x₁），
分别令y=0，得m=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}-{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$，n=$\frac{{x}_{1}{y}_{2}+{x}_{2}{y}_{1}}{{y}_{2}+{y}_{1}}$，
∴mn=$\frac{{{x}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}-{{x}_{2}}^{2}{{y}_{1}}^{2}}{{y}_{2}-{y}_{1}}$=$\frac{（4-\frac{4}{3}{{y}_{1}}^{2}）{{y}_{2}}^{2}-（4-\frac{4}{3}{{y}_{2}}^{2}）{{y}_{1}}^{2}}{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=$\frac{4（{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}）}{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}$=4为定值，
∴m•n为定值4．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两数值是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意直线与椭圆性质的合理运用．