Question

16．已知曲线C上任意一点P（x，y）到点F（1，0）的距离比到直线x+2=0的距离小1．
（1）求曲线C的方程；
（2）过x轴上一点Q作直线l与曲线C交于A，B两点，问是否存在定点Q使$\frac{1}{Q{A}^{2}}$+$\frac{1}{Q{B}^{2}}$为定值，求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由题意可得，点P到F（1，0）的距离与到直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义可得点的轨迹是以F（1，0）为焦点，以x=-1为准线的抛物线，从而可求曲线C的方程．
（2）设出直线方程代入抛物线的方程，利用韦达定理，结合$\frac{1}{Q{A}^{2}}+\frac{1}{Q{B}^{2}}$为定值，求出点Q的坐标．

解答 解：（Ⅰ）由题意，P到F（1，0）距离等于它到直线x=-1的距离，
由抛物线定义，知C为抛物线，F（1，0）为焦点，x=-1为准线，
所以C的方程为y²=4x；
（2）设Q（a，0），直线l的方程为x=my+a，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），．
直线方程代入抛物线的方程，可得y²-4my-4a=0，
∴y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4a，
∴$\frac{1}{Q{A}^{2}}+\frac{1}{Q{B}^{2}}$=$\frac{1}{（{x}_{1}-a）^{2}+{{y}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{（{x}_{2}-a）^{2}+{{y}_{2}}^{2}}$
=$\frac{1}{1+{m}^{2}}$•（$\frac{1}{{{y}_{1}}^{2}}$+$\frac{1}{{{y}_{2}}^{2}}$）=$\frac{2{m}^{2}+a}{2（1+{m}^{2}）{a}^{2}}$，
∴a=2时，$\frac{1}{Q{A}^{2}}+\frac{1}{Q{B}^{2}}$为定值$\frac{1}{4}$，此时△＞0，
∴Q（2，0）时，$\frac{1}{Q{A}^{2}}+\frac{1}{Q{B}^{2}}$为定值$\frac{1}{4}$．

点评 本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、抛物线的标准方程的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、方程思想．属于中档题．