Question

8．设函数f（x）=（2x²-4ax）lnx+x²．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求导数，分类讨论，利用导数的正负，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，当a＞1时，f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，所以$f{（x）_{min}}=f（a）={a^2}（1-2lna）$，由此即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=（4x-4a）lnx+（2x-4a）+2x…（1分）
=4（x-a）（lnx+1）（x＞0）…（2分）
①当a≤0时，f（x）在$（0，\frac{1}{e}）$上单调递减，$[{\frac{1}{e}，+∞}）$上单调递增…（3分）
②当$0＜a＜\frac{1}{e}$时，f（x）在（0，a）、$[{\frac{1}{e}，+∞}）$上单调递增，在$（a，\frac{1}{e}）$上单调递减…（4分）
③当$a=\frac{1}{e}$时，f（x）在（0，+∞）单调递增…（5分）
④当$a＞\frac{1}{e}$时，f（x）在$（0，\frac{1}{e}）$，（a，+∞）上单调递增，在$（\frac{1}{e}，a）$上单调递减…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a≤1时，f（x）在[1，+∞）上单调递增，
所以，对任意x≥1，有f（x）≥f（1）=1＞0符合题意…（9分）
当a＞1时，f（x）在[1，a）上单调递减，在（a，+∞）上单调递增，
所以$f{（x）_{min}}=f（a）={a^2}（1-2lna）$…（10分）
由条件知，a²（1-2lna）＞0，解得$1＜a＜\sqrt{e}$…（11分）
综上可知，$a＜\sqrt{e}$…（12分）

点评 本题考查导数知识的综合运用，考查函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，考查恒成立问题，属于中档题．