Question

2．（Ⅰ）求函数f（x）=8cosx-6cos2x+cos4x在[0，$\frac{π}{3}$）上的最小值；
（Ⅱ）设x∈（0，$\frac{π}{3}$），证明：$\frac{4}{3}$sinx-$\frac{1}{6}$sin2x＜x＜$\frac{8}{3}$sinx-sin2x+$\frac{1}{12}$sin4x；
（Ⅲ）设n为偶数，且n≥6．单位圆内接正n边形面积记为S_n．
（1）证明：$\frac{4}{3}$S_2n一$\frac{1}{3}$S_n＜π＜$\frac{8}{3}$S_2n一2S_n+$\frac{1}{3}{S_{\frac{n}{2}}}$；
（2）已知1.732＜$\sqrt{3}$＜1.733，3.105＜S₂₄＜3.106，证明：3.14＜π＜3.15．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的最小值即可；
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{4}{3}$sinx-$\frac{1}{6}$sin2x-x，设h（x）=$\frac{8}{3}$sinx-sin2x+$\frac{1}{12}$sin4x-x，根据函数的单调性证明即可；
（Ⅲ）（1）令x=$\frac{π}{3}$，代入$\frac{4}{3}$sinx-$\frac{1}{6}$sin2x＜x＜$\frac{8}{3}$sinx-sin2x+$\frac{1}{12}$sin4x中，整理即可；
（2）得到s₆=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，s₁₂=3，在$\frac{4}{3}$S_2n一$\frac{1}{3}$S_n＜π＜$\frac{8}{3}$S_2n一2S_n+$\frac{1}{3}{S_{\frac{n}{2}}}$中，令n=12，代入整理即可．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=-8sinx+12sin2x-4sin4x
=8sinx（-1+3cosx-2cosxcos2x）
=8sinx（1-cosx0（4cos²x+4cosx-1）；
x∈（0，$\frac{π}{3}$）时，得sinx＞0，1-cosx＞0，
由cosx＞$\frac{1}{2}$，得：4cos²x+4cosx-1＞0，
古f′（x）＞0，即f（x）在[0，$\frac{π}{3}$）递增，
又f（0）=3，故f（x）在[0，$\frac{π}{3}$）的最小值是3；
（Ⅱ）设g（x）=$\frac{4}{3}$sinx-$\frac{1}{6}$sin2x-x，
x∈（0，$\frac{π}{3}$）时，g′（x）=$\frac{4}{3}$cosx-$\frac{1}{3}$cos2x-1=-$\frac{2}{3}$（cosx-1）²＜0，
故g（x）在[0，$\frac{π}{3}$）递减，得g（x）＜g（0）=0，
即$\frac{4}{3}$sinx-$\frac{1}{6}$sin2x＜x，①，
设函数h（x）=$\frac{8}{3}$sinx-sin2x+$\frac{1}{12}$sin4x-x，
h′（x）=$\frac{8}{3}$cosx-2cos2x+$\frac{1}{3}$cos4x-1=$\frac{1}{3}$f（x）-1，
x∈（0，$\frac{π}{3}$）时，由（Ⅰ）知f（x）＞3，得h′（x）＞0，
故h（x）在[0，$\frac{π}{3}$）上递增，
得h（x）＞h（0）=0，即$\frac{8}{3}$sinx-sin2x+$\frac{1}{12}$sin4x＞x，②，
综合①②，x∈（0，$\frac{π}{3}$）时，
有$\frac{4}{3}$sinx-$\frac{1}{6}$sin2x＜x＜$\frac{8}{3}$sinx-sin2x+$\frac{1}{12}$sin4x；
（Ⅲ）（1）令x=$\frac{π}{n}$，得：
$\frac{4}{3}$sin$\frac{π}{n}$-$\frac{1}{6}$sin$\frac{2π}{n}$＜$\frac{π}{n}$＜$\frac{8}{3}$sin$\frac{π}{n}$-sin$\frac{2π}{n}$+$\frac{1}{12}$sin$\frac{4π}{n}$，
即$\frac{4}{3}$sin$\frac{π}{n}$-$\frac{n}{6}$sin$\frac{2π}{n}$＜π＜$\frac{8}{3}$nsin$\frac{π}{n}$-nsin$\frac{2π}{n}$+$\frac{n}{12}$sin$\frac{4π}{n}$，
易知s_n=$\frac{n}{2}$sin$\frac{2π}{n}$，s_2n=nsin$\frac{π}{n}$，${s}_{\frac{n}{2}}$=$\frac{n}{4}$sin$\frac{4π}{n}$，
即$\frac{4}{3}$s_2n-$\frac{1}{3}$s_n＜π＜$\frac{8}{3}$S_2n一2S_n+$\frac{1}{3}{S_{\frac{n}{2}}}$；
（2）易得，s₆=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，s₁₂=3，在$\frac{4}{3}$S_2n一$\frac{1}{3}$S_n＜π＜$\frac{8}{3}$S_2n一2S_n+$\frac{1}{3}{S_{\frac{n}{2}}}$中，令n=12，
得：π＞$\frac{4}{3}$s₂₄-$\frac{1}{3}$s₁₂＞$\frac{4}{3}$×3.105-$\frac{1}{3}$×3=3.14，
π＜$\frac{8}{3}$s₂₄-2s₁₂+$\frac{1}{3}$s₆＜$\frac{8}{3}$×3.106-2×3+$\frac{1}{3}$×$\frac{3}{2}$×1.733＜3.15，
综上，3.14＜π＜3.15．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，是一道综合题．