Question

13．设点M在圆C：（x-4）²+（y-4）²=8上运动，点A（6，1），O为原点，则MO+2MA的最小值为$2\sqrt{17}-2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设MN=2MA，利用代入法求出N的轨迹方程，可得ON|_min=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}-2\sqrt{2}=2\sqrt{17}-2\sqrt{2}$，利用MO+2MA=MO+MN=ON，即可求出MO+2MA的最小值．

解答 解：如图，

设MN=2MA，N（x，y），M（a，b），则a=12-x，b=2-y，
代入圆C：（x-4）²+（y-4）²=8可得（12-x-4）²+（2-y-4）²=8，
即N的轨迹方程是（x-8）²+（y+2）²=8，
∴|ON|_min=$\sqrt{{8}^{2}+{2}^{2}}-2\sqrt{2}=2\sqrt{17}-2\sqrt{2}$，
∵MO+2MA=MO+MN=ON，
∴MO+2MA的最小值为$2\sqrt{17}-2\sqrt{2}$，
故答案为：$2\sqrt{17}-2\sqrt{2}$．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查代入法求轨迹方程，考查学生的计算能力，正确转化是关键，是中档题．