Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

3

2

，设过椭圆的焦点且倾斜角为45°的直线l和椭圆交于A、B两点，且AB=8．
（1）求椭圆C的方程；
（2）对于椭圆C上任一点M，若

OM

=a

OA

+b

OB

，求ab的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由已知椭圆的方程可化为：x²+4y²=4b²，AB：y=x-

3

b，从而5x²-8

3

bx+8b²=0，|AB|=

2

•

64×3 25 b2- 32 5 b2

=

8

5

b=8，由此能求出b=1，即可求出椭圆C的方程；
（2）利用

OM

=a

OA

+b

OB

，确定a²+b²=1，利用基本不等式，即可求ab的最大值．

解答： 解：（1）∵

c

a

=

3

2

，∴a²=4b²，c²=3b²，
∴椭圆的方程可化为：x²+4y²=4b²，①
∵右焦点F（

3

b，0），据题意有AB：y=x-

3

b，②
由①，②有：5x²-8

3

bx+8b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁+x₂=

8 3 b

5

，x₁x₂=

8b2

5

，③
∴|AB|=

2

•

64×3 25 b2- 32 5 b2

=

8

5

b=8，解得b=5．
∴a²=100，
∴椭圆C的方程为

x2

100

+

y2

25

=1；
（2）设M（x，y），∵（x，y）=a（x₁，y₁）+b（x₂，y₂），∴x=ax₁+bx₂，y=ay₁+by₂，
又点M在椭圆上，∴（ax₁+bx₂）²+4（ay₁+by₂）²=4b²，④
又A，B在椭圆上，故有x₁²+4y₁²=4b²，x₂²+4y₂²=4b²⑤
由③④⑤可得：a²+b²=1．
∴a²+b²=1≥2ab，
∴ab≤

1

2

，
∴ab的最大值为

1

2

．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查实数值的求法，考查圆锥曲线的位置关系和综合应用，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．