Question

1．设△ABC的内角{b_n}的对边分别为T_n，且bcosC=（2a-c）cosB．
（Ⅰ）求B的大小；
（Ⅱ）若1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$，且$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=-8$，求c的值；
（Ⅲ）若$b=\sqrt{3}$，则a+c的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知可得sinA=2sinAcosB，结合范围sinA≠0，可得cosB=$\frac{1}{2}$，又0＜B＜π，从而得解B的值．
（Ⅱ）由1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$，得$\frac{sinC}{cosA•sinB}=\frac{2c}{b}=\frac{2sinC}{sinB}$，可得$cosA=\frac{1}{2}，A=\frac{π}{3}$，利用$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=c•c•cos\frac{2π}{3}=-\frac{1}{2}{c^2}=-8$即可解得c的值．
（Ⅲ）由余弦定理可得3=a²+c²-ac，利用基本不等式的解法即可求得a+c的最大值．

解答 解：（Ⅰ）正弦定理得sinBcosC=2sinAcosB-sinCcosB，
则sin（B+C）=sinA=2sinAcosB．…（2分）
又sinA≠0，
∴cosB=$\frac{1}{2}$，又0＜B＜π，
∴$B=\frac{π}{3}$．…（4分）
（Ⅱ）由1+$\frac{tanA}{tanB}$=$\frac{2c}{b}$，得$\frac{sinC}{cosA•sinB}=\frac{2c}{b}=\frac{2sinC}{sinB}$，
所以$cosA=\frac{1}{2}，A=\frac{π}{3}$…（6分）
∴△ABC为等边三角形．
又$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{BC}=c•c•cos\frac{2π}{3}=-\frac{1}{2}{c^2}=-8$
∴c=4．…（8分）
（Ⅲ）$b=\sqrt{3}$，$B=\frac{π}{3}$，
由余弦定理可知 b²=a²+c²-2accosB
得3=a²+c²-ac…（10分）
∴$3={a^2}+{c^2}-ac={（a+c）^2}-3ac≥{（a+c）^2}-3{（\frac{a+c}{2}）^2}$，
得$a+c≤2\sqrt{3}$，当且仅当$a=c=\sqrt{3}$时取等号
故a+c的最大值为$2\sqrt{3}$．…（13分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，基本不等式的应用，属于基本知识的考查．