Question

20．已知函数f（x）=lnx+$\frac{1-x}{ax}$，其中a为大于零的常数．
（1）若f（x）在区间[1，+∞）内单调递增，求a的取值范围；
（2）求f（x）在区间[1，2]上的最大值；
（3）求证：对于任意的n∈N^*，且n＞1时，都有n-lnn＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$+…+$\frac{n-1}{n}$．

Answer 1

分析 （1）首先求出f（x）的导数，f（x）在区间[1，+∞）上单调递增转化为当x≥1时，f'（x）≥0恒成立，即$\frac{1}{a}$≤x，x≥1上恒成立．
（2）分类讨论导函数零点$\frac{1}{a}$与区间[1，2]位置，再利用函数的单调性求出最值；
（3）a=1时，f（x）在x＞1单调递增，利用累加法求证；

解答 解：（1）f'（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{a{x}^{2}}$=$\frac{x-\frac{1}{a}}{{x}^{2}}$（x＞0）
∵f（x）在区间[1，+∞）上单调递增，
∴当x≥1时，f'（x）≥0恒成立，即$\frac{1}{a}$≤x，x≥1上恒成立．
∴$\frac{1}{a}$≤1∴a≥1．
∴a的取值范围为[1，+∞）．
（2）i．若$\frac{1}{a}≤1$ 即a≥1时，x∈（1，2）时，f'（x）＞0恒成立．
∴f（x）在[1，2]单调递增．
∴当x=2时，函数f（x）取得最大值f（2）=ln2-$\frac{1}{2a}$．
ii．若$\frac{1}{a}≥2$，x∈[1，2]时，f'（x）＜0恒成立．
∴f（x）在[1，2]上单调递减．
∴当x=1时，函数f（x）取得最大值f（1）=0．
iii．当1＜$\frac{1}{a}$＜2时，
当x∈[1，$\frac{1}{a}$]时，f'（x）＜0，当x∈[$\frac{1}{a}$，2]时，f'（x）＞0
f（x）在x∈[1，$\frac{1}{a}$]单调递减，在x∈[$\frac{1}{a}$，2]单调递增，
当x∈[1，2]，f_max（x）=max{f（1），f（2）}，f（1）=0，f（2）=ln2-$\frac{1}{2a}$，
①当$\frac{1}{2ln2}＜a＜1$ 时，f（2）＞f（1），${f}_{max}（x）=f（2）=ln2-\frac{1}{2a}$．
②当a=$\frac{1}{2ln2}$时，f（2）=f（1）=0，f_max（x）=f（1）=0．
③当$\frac{1}{2}＜a＜\frac{1}{2ln2}$时，f（1）＞f（2），f_max（x）=f（1）=0．
综上所述，在x∈[1，2]时
当0＜a＜$\frac{1}{2ln2}$时，f_max（x）=f（1）=0．
当a=$\frac{1}{2ln2}$时，f（2）=f（1）=0，f_max（x）=f（1）=0．
当a＞$\frac{1}{2ln2}$时，${f}_{max}（x）=f（2）=ln2-\frac{1}{2a}$．
证明：（3）由①知，a=1时，f（x）在x＞1单调递增
∴lnx+$\frac{1-x}{x}$＞f（1）=0（x＞1）
∴lnx＞$\frac{x-1}{x}$（x＞1）
设x=$\frac{n+1}{n}$∴ln（n+1）-lnn＞$\frac{1}{n+1}$．
∴ln2-ln1＞$\frac{1}{2}$，
ln3-ln2＞$\frac{1}{3}$，
…
lnn-ln（n-1）=$\frac{1}{n}$，
左边累加与右边累加后有：
ln2-ln1+ln3-ln2+…+lnn-ln（n-1）=$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，
∴lnn＞$\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，
∴n-lnn＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$+$\frac{3}{4}$+…+$\frac{n-1}{n}$（n＞1，n∈N⁺）

点评 本题主要考查了导数与函数单调性，分类讨论导函数零点位置，函数最值以及累加法，属综合题．