Question

2．如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，且边长是$2\sqrt{2}$，∠BAC=90°，O为BC中点．
（Ⅰ）证明：SO⊥平面ABC；
（Ⅱ）棱SC上是否存在点M使三棱锥M-AOC的体积是1？并说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）连接OA，由题意可得SO⊥BC，AO⊥BC，可得BO=AO=CO=SO=2，在△SOA中，AO²+SO²=SA²，由勾股定理可得SO⊥OA，又AO∩BC=O，从而可证SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）设M是满足条件的一点，向OC引垂线，交OC于点N，则MN⊥平面COA，由（Ⅰ）可求S_△AOC，由1=$\frac{1}{3}$×S_△AOC×MN，解得MN的值，从而得解．

解答 （本题满分12分）
证明：（Ⅰ）连接OA，∵侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，且边长是$2\sqrt{2}$，∠BAC=90°，O为BC中点．
∴可得SO⊥BC，AO⊥BC，可得BO=AO=CO=SO=2，
∴由△SOA中，AO²+SO²=SA²，可得SO⊥OA，
又∵AO∩BC=O，
∴SO⊥平面ABC．
（Ⅱ）解：在棱SC上是否存在点M（MC=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）使三棱锥M-AOC的体积是1，证明如下：
设M是满足条件的一点，向OC引垂线，交OC于点N，则MN⊥平面COA，即MN是三棱锥M-AOC的一高．
因为由（Ⅰ）可知：S_△AOC=$\frac{1}{2}$×OC×OA=2，
所以要使三棱锥M-AOC的体积是1，则有：1=$\frac{1}{3}$×S_△AOC×MN，从而解得：MN=$\frac{3}{2}$．
所以可求得：CM=$\sqrt{2×M{N}^{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．
故棱SC上是否存在点M（当CM=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$时）使三棱锥M-AOC的体积是1．

点评 本题主要考查了直线与平面垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和转化思想，属于基本知识的考查．