Question

12．已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1+a_n=4n+3（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （I）由数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1+a_n=4n+3（n∈N^*），可得当n=1时，解得a₂=5．当n≥2时，a_n+2-a_n=4，因此数列{a_n}的奇数项构成等差数列，首项为2，公差为4；偶数项构成等差数列，首项为5，公差为4．分别利用等差数列的通项公式即可得出．
（II）对n分类讨论，利用等差数列的前n项和公式即可得出．

解答 解：（I）∵数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1+a_n=4n+3（n∈N^*），∴当n=1时，a₂+a₁=7，解得a₂=5．
当n≥2时，a_n+2+a_n+1=4n+7，∴a_n+2-a_n=4，
∴数列{a_n}的奇数项构成等差数列，首项为2，公差为4；偶数项构成等差数列，首项为5，公差为4．
∴a_2k-1=2+4（k-1）=4k-2，即n为奇数时：a_n=2n．
a_2k=5+4（k-1）=4k+1，即n为偶数时：a_n=2n+1．
∴${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{2n，n为奇数}\\{2n+1，n为偶数}\end{array}\right.$．
（II）当n为偶数时，S_n=[2+6+…+2（n-1）]+[5+9+…+（2n+1）]=$\frac{\frac{n}{2}（2+2n-2）}{2}$+$\frac{\frac{n}{2}（5+2n+1）}{2}$=${n}^{2}+\frac{3}{2}n$．
当n为奇数时，S_n=S_n+1-a_n+1=$（n+1）^{2}+\frac{3}{2}（n+1）-[2（n+1）+1]$=$\frac{2{n}^{2}+3n-1}{2}$．
∴S_n=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}（2{n}^{2}+3n-1），n为奇数时}\\{{n}^{2}+\frac{3}{2}n，n为偶数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．