Question

4．已知数列{a_n}前n项和S_n，且a₁=1，na_n+1=（n+2）S_n
（1）求证：{$\frac{{S}_{n}}{n}$}为等比数列
（2）求{a_n}通项公式及前n次和S_n
（3）若{b_n}满足：b₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{b}_{n}+{S}_{n}}{n}$，求b_n．

Answer 1

分析 （1）通过将a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=（n+2）S_n，即可推出数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）利用（1）的结论求出数列{a_n}的通项公式及前n项和s_n；
（3）数列{b_n}满足b₁=$\frac{1}{2}$，$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{b}_{n}+{S}_{n}}{n}$，推出$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}=\frac{{b}_{n}}{n}+$2^n-1，利用累加法直接求b_n．

解答 （1）证明：将a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=（n+2）S_n，
整理得$\frac{{S}_{n+1}}{n+1}=2\frac{{S}_{n}}{n}$（n∈N^•）．
又由已知$\frac{{S}_{1}}{1}$=1≠0，
∴数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是首项为1，公比为2的等比数列；
（2）解：由（1）的结论可得$\frac{{S}_{n}}{n}$=2^n-1，∴Sn=n•2^n-1，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=n•2^n-1-（n-1）•2^n-2=（n+1）•2^n-2，
由已知a₁=1，又当n=1时，（n+1）•2^n-2=1，
∴a_n=（n+1）•2^n-1（n∈N^*）；
（3）解：由$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}$=$\frac{{b}_{n}+{S}_{n}}{n}$，（n∈N^*），
得$\frac{{b}_{n+1}}{n+1}=\frac{{b}_{n}}{n}+$2^n-1，
由此式可得$\frac{{b}_{n}}{n}=\frac{{b}_{n-1}}{n-1}+{2}^{n-2}$，
$\frac{{b}_{n-1}}{n-1}=\frac{{b}_{n-2}}{n-2}+{2}^{n-3}$，
…
$\frac{{b}_{2}}{2}=\frac{{b}_{1}}{1}+{2}^{0}$，
累加得，$\frac{{b}_{n}}{n}={b}_{1}+2+{2}^{2}+…+{2}^{n-2}$=${2}^{n-1}-\frac{1}{2}$，（n∈N^*，n≥2）．
∴b_n=$n•{2}^{n-1}-\frac{1}{2}n$（n∈N^*，n≥2）．
验证n=1时成立，
∴b_n=$n•{2}^{n-1}-\frac{1}{2}n$（n∈N^*）．

点评 本题考查等比关系的确定，考查了由数列的前n项和求数列的通项公式，训练了累加法求数列通项公式，考查计算能力，是中档题．