Question

在棱长为4的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP，点E在棱A₁D₁上，且A₁D₁=4ED₁，求直线BE与平面APD₁所成角的正弦值

 

．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：建立坐标系求出

BE

=（-3，-4，4），

AP

=（-4，4，0），

AD1

=（-4，0，4），
设平面APD₁的法向量为

n

=（x，y，z），得出平面APD₁的法向量为

n

=（1，1，1），运用cos＜

n

，

BE

＞=直线BE与平面APD₁所成角的正弦值求解．

解答： 解：分别以DA，DC，DD₁为x，y，z轴建立坐标系，

∵在棱长为4的正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，点P在棱CC₁上，且CC₁=4CP，点E在棱A₁D₁上，且A₁D₁=4ED₁，
∴B（4，4，0），E（1，0，4），A（4，0，0），P（0，4，0），D₁（0，0，4），
∴

BE

=（-3，-4，4），

AP

=（-4，4，0），

AD1

=（-4，0，4），
设平面APD₁的法向量为

n

=（x，y，z），

n • AP =0 n • AD1 =0

-4x+4y=0 -4x+4z=0

，x=y=z=1，
∴cos＜

n

，

BE

＞=

-3

3 × 9+16+16

=

123

41

，
故为

123

41

，
故答案为：

123

41

点评：本题考查了空间直线与平面所成的角的计算问题，运用平面的法向量求解，属于中档题，关键是求向量的坐标．