Question

4．已知A、B、C的坐标分别为A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），α∈（-π，0）．
（1）若|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，求角α的值；
（2）若$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=2，求$\frac{2si{n}^{2}α+sin2α}{1+tanα}$的值．

Answer 1

分析 （1）利用向量的坐标运算、向量模的计算、同角三角函数基本关系式即可得出．
（2）利用数量积运算性质、同角三角函数基本关系式即可得出．

解答 解：（1）∵A（3，0），B（0，3），C（cosα，sinα），
∴$\overrightarrow{AC}$=（cosα-3，sinα），$\overrightarrow{BC}$=（cosα，sinα-3），
∵|$\overrightarrow{AC}$|=|$\overrightarrow{BC}$|，
∴（cosα-3）²+sin²α=cos²α+（sinα-3）²，
∴cosα=sinα⇒tanα=1．
又-π＜α＜0，
∴α=-$\frac{3π}{4}$；
（2）∵$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{BC}$=2，
∴（cosα-3，sinα）•（cosα，sinα-3）=cos²α-3cosα+sin²α-3sinα=2，
∴sinα+cosα=-$\frac{1}{3}$，
∴（sinα+cosα）²=1+2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{8}{9}$，
∴$\frac{2si{n}^{2}α+sin2α}{1+tanα}$=$\frac{2sinα（sinα+cosα）cosα}{cosα+sinα}$=2sinαcosα=-$\frac{8}{9}$．

点评 本题主要考查向量的基本运算以及向量和三角函数的综合运算，属于中档题．