Question

19．已知$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{y≥-1}\end{array}\right.$，求：
（Ⅰ）z=x+2y-4的最大值；
（Ⅱ）z=$\frac{2y+1}{x+1}$的范围；
（III）z=x²+y²-10y+25的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案；
（Ⅱ）由z=$\frac{2y+1}{x+1}$=$2\frac{y+\frac{1}{2}}{x+1}$，然后利用其几何意义，即可行域内的动点与定点（-1，-$\frac{1}{2}$）连线的斜率求解；
（Ⅲ）由z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²，再利用其几何意义，即可行域内的动点与定点（0，5）距离的平方求解．

解答 解：由约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\\{y≥-1}\end{array}\right.$作出可行域如图，

（Ⅰ）由z=x+2y-4，得$y=-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}+2$，
联立$\left\{\begin{array}{l}{x=-1}\\{x+y-1=0}\end{array}\right.$，解得B（-1，2），
由图可知，当直线$y=-\frac{x}{2}+\frac{z}{2}+2$过B时，z=x+2y-4取得最大值为-1；
（Ⅱ）z=$\frac{2y+1}{x+1}$=$2\frac{y+\frac{1}{2}}{x+1}$，其几何意义为可行域内的动点与定点（-1，-$\frac{1}{2}$）连线的斜率，
∵${k}_{PA}=\frac{1+\frac{1}{2}}{0+1}=\frac{3}{2}$，
∴z=$\frac{2y+1}{x+1}$的范围是[$\frac{3}{2}，+∞$）；
（Ⅲ）z=x²+y²-10y+25=x²+（y-5）²，
其几何意义为可行域内的动点与定点（0，5）距离的平方，
由图可知，其最小值为（-1-0）²+（2-5）²=10．

点评 本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．